החברים במכון דוידסון עושים לרוב עבודה מצויינת בכתיבה מדעית פופולרית והנגשת רעיונות מדעיים לציבור הרחב (למשל, דרך דף הפייסבוק). לרוב, כי היום משהו התקלקל והכתבה הבאה יצאה תחת ידיהם והופיעה ב-ynet. הכתבה עוסקת במשחק הפשוט "זוג או פרט" ומנסה להסביר שהמשחק לא הוגן וכי הסיכויים של "זוג" לנצח הם במעט יותר גבוהים (13/25 לעומת 12/25). הואיל ויש לי כמה דקות פנויות והטעויות בכתבה באמת מפריעות לי, הריהו לפניכם – פוסט התיקונים.

הכתבה נפתחת בהסבר קצר על המשחק ועל האם זה "פרד" או "פרט" ומיד אחרי זה מגיעה השגיאה הראשונה בחישוב ההסתברויות. הכתב סופר נכונה שכאשר כל אחד מהשחקנים מציג אצבע עד 5 אצבעות ולכן יש בסה"כ 25 תוצאות אפשריות במשחק (1-1, 1-2, 2-1 וכו' עד 5-5) מתוכן 13 זוגיות ורק 12 אי-זוגיות, אבל המסקנה המתבקשת היא לא שהסיכוי לתוצאה זוגית יותר גדולה מתוצאה אי זוגית. מדובר על כשל בהבנת מושג ההסתברות. העובדה שיש 13 תוצאות זוגיות ו-12 תוצאות אי זוגיות לא אומר שהסיכוי לתוצאה זוגית הוא 13/25. שיקול כזה עובד רק בבעיות בהן הסיכוי לכל תוצאה הוא שווה (מצב הנקרא "מרחב מדגם סימטרי") כמו בקוביה (6 תוצאות עם אותו הסיכוי) או הטלת מטבע (שתי תוצאות עם אותו סיכוי) אבל לא כל מרחב מדגם הוא סימטרי. הסיכוי שירד מחר גשם הוא לא 50% (או שכן או שלא) והסיכוי שנבחרת ישראל תסיים במקום הראשון במוקדמות המונדיאל הבא הוא לא 1/6 (כי יש 6 מקומות אפשריים). אותו הדבר במשחק "זוג או פרט". התוצאה שמציגים בכתבה נכונה רק אם כל אחד מהשחקנים בוחר באקראי כמה אצבעות להציג, ולכל מספר של אצבעות יש סיכוי של 1/5.

שתי פסקאות אחרי כן, הכתב מוכיח שהוא כן מבין את הנקודה האחרונה, כשהוא מסביר שהסכומים האפשריים במשחק אינם שווי הסתברות. אכן, הסיכוי לקבל 10 (אם כן אחד בוחר מספר באקראי) הוא 1/25 בעוד שהסיכוי לקבל 9 גבוה פי 2 (כי יש שתי אפשרויות לקבל 9: 5+4 או 4+5). לכן לחשוב על כל התוצאות האפשריות (2 עד 10) ולהגיד שהן תוצאות שוות הסתברות היא אמירה לא נכונה למרות שהיא גם מובילה למסקנה של"זוג" יש יתרון על "פרט".

כל חישובי ההסתברות הללו, נכונים ככל שיהיו, סוטים מהנקודה המרכזית שחסרה בניתוח. מדובר על משחק ולכן שחקנים רציונליים יחפשו אסטרטגיה במשחק. כשם ששחקנים אינם בוחרים מהלכים באקראי במשחק השחמט, כך אין סיבה שיבחרו באקראי אצבעות במשחק "זוג או פרט". נניח למשל ש"זוג" קרא את הכתבה בויינט והחליט לפעול לפי האסטרטגיה המומלצת שם, כלומר להציג כל מספר של אצבעות באותו סיכוי. האם "פרט" יכול להגן על עצמו? בוודאי. ראשית כל, הוא יכול לבחור להציג אצבע אחת בסיכוי של חצי ו-2 אצבעות בסיכוי של חצי. במקרה כזה, הסיכוי שלו לנצח אם הוא הראה אצבע אחת (מה שקורה בסיכוי חצי) הוא 2/5 ואם הוא הראה שתי אצבעות (שוב, בסיכוי חצי) הוא 3/5 ובסה"כ הסיכוי שלו לנצח יהיה מכפלת ההסתברויות, כלומר חצי. לפיכך, "פרט" יכול להבטיח שינצח בערך בחצי מהמשחקים אם הוא בוחר באקראי "זוג" או "פרט" ובהתאם לכך בוחר כמה אצבעות יציג ולא אם הוא בוחר באקראי את מספר האצבעות שיציג. באופן דומה, "זוג" יכול לנקוט באסטרטגיה דומה והמשחק יהפוך להוגן – הסיכוי של כל אחד לנצח הוא בדיוק חצי.

למעשה, "זוג" חייב לנקוט באסטרטגיה דומה אחרת הוא יפסיד. אם משום מה "זוג" מתעקש לנקוט באסטרטגיה של ויינט ולהציג כל מספר אצבעות באותו סיכוי, הרי שהוא יציג מספר אי זוגי ב-3/5 מהמקרים ולכן "פרט" יכול פשוט להציג מספר זוגי תמיד ולנצח ב-3/5 מהמקרים. לאור זאת, גם "זוג" חייב לשחק אסטרטגיה שמציגה זוג ופרט בסיכויים שווים אחרת "פרט" יוכל לנצל את האסטרטגיה השגויה של "זוג" לטובתו.

בסיכומו של עניין, "זוג או פרט", כמו הרבה משחקים אחרים, הוא משחק הוגן בהנחה שמשחקים נכון ואז לכל צד יש סיכוי של חצי לנצח. יתרה מכך, מספיק שאחד הצדדים ישחק נכון ויבחר זוג ופרט בהסתברות שווה כדי לוודא שהמשחק יהיה הוגן וכל צד ינצח בהסתברות חצי. הבעיה היחידה יכולה להתעורר במשחק היא אם משחקים לא נכון או מנסים להתחכם ("הוא עשה 2 אז עכשיו הוא בטח לא יעשה 2 ולכן אני אעשה 2….").

נהפוך את המשחק למעניין ונניח שהמנצח משלם למפסיד שקל. במקרה כזה המשחק הופך למשחק סכום-אפס, שכן סך כל הרווחים של השחקנים הוא 0 (כל מה שאחד מרוויח, השני בדיוק מפסיד). פון-ניומן, מאבות תורת המשחקים, הוכיח בשנות ה-40 שלמשחקי סכום-אפס עם שני שחקנים יש ערך, כלומר יש לכל צד אסטרטגיה אופטימלית ויש ערך בודד המתאר כמה, בממוצע, שחקן 2 ישלם (או ירוויח, שקול לתשלום שלילי) בכל תור. ב"זוג או פרט" השחקן הראשון ירוויח 1 בחצי מהמשחקים, יפסיד 1 בחצי מהמשחקים ולכן בממוצע ירוויח 0, כלומר הערך של המשחק הוא 0.

מבחינה תאורטית, אם כך, המשחק "זוג או פרט" הוא די משעמם כי האסטרטגיות האופטימליות ידועות, הערך ידוע ואין כל כך מה לחדש. דווקא מבחינה פרקטית המשחק עשוי לעניין שכן לא סביר שאנשים באמת משחקים "1 בהסתברות חצי ו-2 בהסתברות חצי" כמו שצריך. מחקרים מראים שקשה מאוד לאנשים להגריל מספרים בצורה אקראית והחשיבה האנושית היא מובנית ומבוססת על סדרות: "שיחקתי עכשיו פעמיים 1, אבל אני אמור לשחק חצי חצי ולכן בתור הבא אשחק 2 כדי שזה יהיה בערך חצי-חצי" (בניגוד לאמירה הנכונה: "שיחקתי עכשיו פעמיים 1, עכשיו אני אשחק או 1 או 2 באופן אקראי לחלוטין"). כתבה על מחקר כזה, המתאר מה אנשים משחקים בפועל ואיך אפשר לנצל את זה כדי לנצח ולהשתלט על העולם, הייתי שמח לקרוא.

באופן מפתיע ודי נדיר, סיפור מתמטי השתרבב לחדשות ביומיים האחרונים. הכל התחיל בכתבה הזו ב"ישראל היום" והמשיך בפולו-אפים אצל יאיר ניצני בגל"צ ואצל אורלי וגיא בערוץ 10. בקצרה – הכתבה מתארת את סיפורה של תמר, תלמידת כיתה י' שבמהלך פתרון שיעורי הבית רצתה להשתמש בטענה שנשמעה לה מאוד הגיונית, אבל לא הצליחה למצוא אותה בספרי הלימוד. בשלב הזה, במקום לחפש כיוון אחר או רפרנס כמו רוב התלמידים, היא הוכיחה את הטענה שרצתה להשתמש בה. המורה למתמטיקה התלהב, מסתבר שגם חוקרים ב-MIT והדרך לדפי העיתון קצרה. "משפט שלושת הרדיוסים" הפך לגאווה לאומית, בימים בו החינוך בישראל די עגום ובאופן כללי, הדרמה האמיתית מתחוללת בבית האח הגדול.

אז מה בעצם אומר משפט שלושת הרדיוסים? לפי המשפט אם מנקודה יוצאים שלושה קטעים שווים אל היקפו של מעגל, אז הנקודה היא מרכז המעגל. היות ומעגל מוגדר להיות המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחב מסוים מנקודה מסוימת במישור ("מרכז המעגל") אז הטענה אפילו נשמעת הגיונית ולכן מפתיע שאף אחד לא חשב על המשפט הזה קודם.

חוץ מאוקלידס, כמובן, שחשב על זה לפני 2000 שנים בזמן שהמציא, למעשה, את הגאומטריה, וכלל את המשפט בכרך השלישי של חיבורו האלמותי "היסודות". באופן כללי, הטענה הזו היא עוד טענה ששקולה לטענה הבסיסית שדרך שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד. לכן, למשל, שני מעגלים יכולים להיחתך רק בשתי נקודות כי אם יש שלוש נקודות חיתוך – אז הם מתלכדים (עוד הוכחה אפשרית ל"משפט שלושת הרדיוסים").

אבל רגע, אם המשפט כבר ידוע, למה הוא לא נכלל בספרי הלימוד? בשביל לענות על השאלה צריך להבין שכל טענה היא "משפט". כל תרגיל, כל שאלה, כל מסקנה שאפשר להסיק כחלק מהוכחה היא למעשה "משפט". ההבדל בין משפטים "אמיתיים", שזוכים לשם או מוזכרים בספרים לבין משפטים שהופכים עם הזמן לתרגילים או נעלמים בתהום הנשייה הוא השימושיות. ככל שמשפט שימושי יותר, מעניין יותר או יסודי יותר בתחום המתמטי, כך הוא ישרוד יותר. במקרה שלנו המשפט שקול להרבה משפטים אחרים אבל בניגוד אליהם הוא פחות שימושי כי הוא מתבסס על נתונים נדירים ("יש נקודה שיוצאים ממנה שלושה ישרים שווים להיקף מעגל") ביחס לנתונים הרבה יותר טבעיים כמו "מעגלים נחתכים" או "מעגל חוסם משולש" שמופיעים ביותר תרגילים ובעיות.

אז מה הבעיה בעצם? לתמר אין לי תלונות. קודוס על ההוכחה והיצירתיות. הבעיה היא משולשת, אחד לכל רדיוס.

ראשית, הבעיה היא במורה, שבמקום לזהות את המשפט ולעודד אותה בדרך מקובלת פדגוגית (למשל, נקודות בונוס בציון הסופי, או לאתגר אותה להוכיח דברים יותר מתוחכמים) הפך את כל הסיפור לסיפור תקשורתי מנופח, כאשר כל מי שמכיר קצת מתמטיקה (ונתקלתי בלא הרבה כאלה ביומיים האחרונים) לא יכול שלא לגחך למשמעו. אם נפשט את העניינים, מדובר על תלמידה שעשתה משהו מחוץ לתוכנית הלימודים. זה הכל. באותה מידה יכלו לקרוא בעיתון על תלמיד שרץ לא בשיעור ספורט או תלמידה שקראה ספר שלא נכלל בחומר הקריאה לבגרות. נו באמת. בטווח הארוך זה יכול ליצור הרבה יותר נזק מתועלת עבורה ועבורו. אני לא מצפה ממורים למתמטיקה לדעת את "היסודות" בע"פ, אבל אני כן מצפה שידעו לגגל או לפחות להבין שגאומטריה אוקלידית היא כמעט תחום מת ושאין בו בעיות "פתוחות" טהורות.

שנית, העיתונות החוקרת. ישראל היום, גלי צה"ל, ערוץ 10. לאף אחד אין שם עורך מדעי שירגיע את הרוחות ויצנן את ההתלהבות? יש מספיק ילדים מוכשרים בישראל שעושים דברים הרבה יותר יוצאי דופן. למעשה, בכל סמסטר יוצא לי ללמד כמה תלמידי כיתה י'-י"א במסגרת עבודתי באוניברסיטה הפתוחה והדרישות שאנחנו מציבים בפניהם הרבה יותר גבוהות מהנדרש בהוכחת המשפט. אבל אף אחד לא מחכה להם ביציאה מחדר המבחן עם מצלמה לראיינם על עוד מבחן מוצלח באלגברה לינארית, לא? ובכלל – למה עורך לשוני יש, מישהו שמטפל בפוטושופ בתמונות יש, אבל נראה שכל גופי התקשורת בארץ מתעקשים לחסוך דווקא על עורך מדעי. זה כאילו שהם מנסים בכוח לפשל בכל כתבה שעוסקת במדע.

שלישית – אין למעשה שלישית, אבל זה הסתדר לי יותר טוב רטורית עם השם של ה"משפט" ובכלל, לשחרר סטודנטים לפני תום השיעור תמיד משפר את אהבתם אליי, אז למה לא, משוחררים.