החברים במכון דוידסון עושים לרוב עבודה מצויינת בכתיבה מדעית פופולרית והנגשת רעיונות מדעיים לציבור הרחב (למשל, דרך דף הפייסבוק). לרוב, כי היום משהו התקלקל והכתבה הבאה יצאה תחת ידיהם והופיעה ב-ynet. הכתבה עוסקת במשחק הפשוט "זוג או פרט" ומנסה להסביר שהמשחק לא הוגן וכי הסיכויים של "זוג" לנצח הם במעט יותר גבוהים (13/25 לעומת 12/25). הואיל ויש לי כמה דקות פנויות והטעויות בכתבה באמת מפריעות לי, הריהו לפניכם – פוסט התיקונים.

הכתבה נפתחת בהסבר קצר על המשחק ועל האם זה "פרד" או "פרט" ומיד אחרי זה מגיעה השגיאה הראשונה בחישוב ההסתברויות. הכתב סופר נכונה שכאשר כל אחד מהשחקנים מציג אצבע עד 5 אצבעות ולכן יש בסה"כ 25 תוצאות אפשריות במשחק (1-1, 1-2, 2-1 וכו' עד 5-5) מתוכן 13 זוגיות ורק 12 אי-זוגיות, אבל המסקנה המתבקשת היא לא שהסיכוי לתוצאה זוגית יותר גדולה מתוצאה אי זוגית. מדובר על כשל בהבנת מושג ההסתברות. העובדה שיש 13 תוצאות זוגיות ו-12 תוצאות אי זוגיות לא אומר שהסיכוי לתוצאה זוגית הוא 13/25. שיקול כזה עובד רק בבעיות בהן הסיכוי לכל תוצאה הוא שווה (מצב הנקרא "מרחב מדגם סימטרי") כמו בקוביה (6 תוצאות עם אותו הסיכוי) או הטלת מטבע (שתי תוצאות עם אותו סיכוי) אבל לא כל מרחב מדגם הוא סימטרי. הסיכוי שירד מחר גשם הוא לא 50% (או שכן או שלא) והסיכוי שנבחרת ישראל תסיים במקום הראשון במוקדמות המונדיאל הבא הוא לא 1/6 (כי יש 6 מקומות אפשריים). אותו הדבר במשחק "זוג או פרט". התוצאה שמציגים בכתבה נכונה רק אם כל אחד מהשחקנים בוחר באקראי כמה אצבעות להציג, ולכל מספר של אצבעות יש סיכוי של 1/5.

שתי פסקאות אחרי כן, הכתב מוכיח שהוא כן מבין את הנקודה האחרונה, כשהוא מסביר שהסכומים האפשריים במשחק אינם שווי הסתברות. אכן, הסיכוי לקבל 10 (אם כן אחד בוחר מספר באקראי) הוא 1/25 בעוד שהסיכוי לקבל 9 גבוה פי 2 (כי יש שתי אפשרויות לקבל 9: 5+4 או 4+5). לכן לחשוב על כל התוצאות האפשריות (2 עד 10) ולהגיד שהן תוצאות שוות הסתברות היא אמירה לא נכונה למרות שהיא גם מובילה למסקנה של"זוג" יש יתרון על "פרט".

כל חישובי ההסתברות הללו, נכונים ככל שיהיו, סוטים מהנקודה המרכזית שחסרה בניתוח. מדובר על משחק ולכן שחקנים רציונליים יחפשו אסטרטגיה במשחק. כשם ששחקנים אינם בוחרים מהלכים באקראי במשחק השחמט, כך אין סיבה שיבחרו באקראי אצבעות במשחק "זוג או פרט". נניח למשל ש"זוג" קרא את הכתבה בויינט והחליט לפעול לפי האסטרטגיה המומלצת שם, כלומר להציג כל מספר של אצבעות באותו סיכוי. האם "פרט" יכול להגן על עצמו? בוודאי. ראשית כל, הוא יכול לבחור להציג אצבע אחת בסיכוי של חצי ו-2 אצבעות בסיכוי של חצי. במקרה כזה, הסיכוי שלו לנצח אם הוא הראה אצבע אחת (מה שקורה בסיכוי חצי) הוא 2/5 ואם הוא הראה שתי אצבעות (שוב, בסיכוי חצי) הוא 3/5 ובסה"כ הסיכוי שלו לנצח יהיה מכפלת ההסתברויות, כלומר חצי. לפיכך, "פרט" יכול להבטיח שינצח בערך בחצי מהמשחקים אם הוא בוחר באקראי "זוג" או "פרט" ובהתאם לכך בוחר כמה אצבעות יציג ולא אם הוא בוחר באקראי את מספר האצבעות שיציג. באופן דומה, "זוג" יכול לנקוט באסטרטגיה דומה והמשחק יהפוך להוגן – הסיכוי של כל אחד לנצח הוא בדיוק חצי.

למעשה, "זוג" חייב לנקוט באסטרטגיה דומה אחרת הוא יפסיד. אם משום מה "זוג" מתעקש לנקוט באסטרטגיה של ויינט ולהציג כל מספר אצבעות באותו סיכוי, הרי שהוא יציג מספר אי זוגי ב-3/5 מהמקרים ולכן "פרט" יכול פשוט להציג מספר זוגי תמיד ולנצח ב-3/5 מהמקרים. לאור זאת, גם "זוג" חייב לשחק אסטרטגיה שמציגה זוג ופרט בסיכויים שווים אחרת "פרט" יוכל לנצל את האסטרטגיה השגויה של "זוג" לטובתו.

בסיכומו של עניין, "זוג או פרט", כמו הרבה משחקים אחרים, הוא משחק הוגן בהנחה שמשחקים נכון ואז לכל צד יש סיכוי של חצי לנצח. יתרה מכך, מספיק שאחד הצדדים ישחק נכון ויבחר זוג ופרט בהסתברות שווה כדי לוודא שהמשחק יהיה הוגן וכל צד ינצח בהסתברות חצי. הבעיה היחידה יכולה להתעורר במשחק היא אם משחקים לא נכון או מנסים להתחכם ("הוא עשה 2 אז עכשיו הוא בטח לא יעשה 2 ולכן אני אעשה 2….").

נהפוך את המשחק למעניין ונניח שהמנצח משלם למפסיד שקל. במקרה כזה המשחק הופך למשחק סכום-אפס, שכן סך כל הרווחים של השחקנים הוא 0 (כל מה שאחד מרוויח, השני בדיוק מפסיד). פון-ניומן, מאבות תורת המשחקים, הוכיח בשנות ה-40 שלמשחקי סכום-אפס עם שני שחקנים יש ערך, כלומר יש לכל צד אסטרטגיה אופטימלית ויש ערך בודד המתאר כמה, בממוצע, שחקן 2 ישלם (או ירוויח, שקול לתשלום שלילי) בכל תור. ב"זוג או פרט" השחקן הראשון ירוויח 1 בחצי מהמשחקים, יפסיד 1 בחצי מהמשחקים ולכן בממוצע ירוויח 0, כלומר הערך של המשחק הוא 0.

מבחינה תאורטית, אם כך, המשחק "זוג או פרט" הוא די משעמם כי האסטרטגיות האופטימליות ידועות, הערך ידוע ואין כל כך מה לחדש. דווקא מבחינה פרקטית המשחק עשוי לעניין שכן לא סביר שאנשים באמת משחקים "1 בהסתברות חצי ו-2 בהסתברות חצי" כמו שצריך. מחקרים מראים שקשה מאוד לאנשים להגריל מספרים בצורה אקראית והחשיבה האנושית היא מובנית ומבוססת על סדרות: "שיחקתי עכשיו פעמיים 1, אבל אני אמור לשחק חצי חצי ולכן בתור הבא אשחק 2 כדי שזה יהיה בערך חצי-חצי" (בניגוד לאמירה הנכונה: "שיחקתי עכשיו פעמיים 1, עכשיו אני אשחק או 1 או 2 באופן אקראי לחלוטין"). כתבה על מחקר כזה, המתאר מה אנשים משחקים בפועל ואיך אפשר לנצל את זה כדי לנצח ולהשתלט על העולם, הייתי שמח לקרוא.

רצה הגורל ונתקעתי עם עותק של המגזין של מעריב, מתוכו נפל גיליון אפריל של "המבחן של המדינה". בדרך כלל אני לא קורא כאלה דברים, אבל רצה הגורל והפעם נחה עליי המוזה ומשום מה החלה פעולת קריאה נמרצת. אבוי. נגלה לעיני מוסף שלם הרווי במניפולציות ומשחקי מספרים. נראה שהשימוש היחיד שאפשר לעשות במוסף "המבחן של המדינה" הוא ללמוד כיצד לקרוא בביקורתיות סקרים (ולהבין האם הם שווים את הדיו איתו הודפסו).

הטור הראשון הוא טור המזגנים. השאלה הראשונה לאוכלוסיה הכללית היא: "מבין המזגנים הבאים, מהו המזגן הטוב והמתקדם ביותר?" והזוכה הגדולה היא אלקטרה עם 33.5%. מעולה. כל הכבוד לאלקטרה, רק על סמך מה כל אותם 33% אומרים זאת? כמה מזגנים יוצא לאדם ממוצע לנסות במהלך שנה? יש לו מזגן אחד בבית, ואולי מזגן אחד במשרד (למרות שבד"כ מדובר על מיזוג מרכזי). האם הוא באמת יכול להשוות בין השניים? האם באמת הוא יודע שמזגן אלקטרה טוב יותר מתדיראן? אולי. נמשיך הלאה. השאלה הבאה היא "אילו היית צריך לקנות היום מזגן חדש, איזה מזגן הייתה קונה?" גם כאן, אלקטרה זוכה ב35% ומנצח את כולם. ראשית כל, אני תמהה על אותם 2 אחוזים שנוספו פתאום. מי באמת ציין בשאלה הראשונה מזגן אחר בתור המזגן הטוב ביותר והמתקדם ביותר, אבל בחר לקנות אלקטרה? אבל זו לא הנקודה העיקרית, הנקודה העיקרית היא שרובנו לא צריכים לקנות היום מזגן, אנחנו לא עושים סקר שוק, אין לנו באמת מושג מה הולך בשוק ועל כן – על מה מתבססת התשובה?
ועכשיו מגיעה הפנינה האמיתית, השאלה השלישית: "מבין המזגנים הבאים, מהו המזגן הנמכר ביותר?" ובכן, ניחשתם נכון, אלקטרה זוכה עם כמעט 30%. תודו שגם לכם הייתה תחושת בטן שאלקטרה תזכה, גם בלי לקרוא את הפסקה הקודמת. אולי הסיבה תמונה בכך שבטלוויזיה רצות בלי סוף פרסומות המציינות שאלקטרה הוא המזגן הנמכר ביותר, על פי סקר של המבחן של המדינה. מה נותר לקורא התמים אלא לצטט את הפרסומת המעגלית? נציין רק כי הקורא הממוצע לא באמת יודע כלום על נתוני מכירות של מזגנים, ואכן, 20% טענו שהם לא יודעים. אבל זה רק כאין וכאפס לעומת השאלה החמישית (הרביעית פחות מטרידה כרגע) "מי מבין חברות המזגנים הבאות נותנת את השירות הטוב ביותר ללקוחותיה?"

הפסקת פרסומות קטנה בטרם נגלה את התשובה:

איך, מבין כל המזגנים שיש, אמור הקורא הממוצע והמעל הממוצע לדעת לאיזה שירות הכי טוב? משמועות? מניחושים? אכן, שליש מהקוראים לא יודעים ועוד 30% (פחות!) מציינים את אלקטרה!

אבל מה המשמעות של כל הסקרים שנסקרו (משחק מילים משעשע) עד כה? למעשה, שאלו את הציבור הרחב 4 שאלות שהתשובה להן לא ידועה פרט לבודדים. חלקם הגדול אכן לא ידע. חלקם אפילו הודה בכך. השאר, ניחשו תשובות על סמך פרסומות וסקרים קודמים. אחרי הכל, למה צריך לעשות סקר, "מהו המזגן הנמכר ביותר" כשזה נתון אובייקטיבי שקל מאוד לבדוק. האם הציבור יודע יותר טוב מאשר החברות עצמן והדוחות הכספיים שלהן?

עוד כמה פנינים מתוך הסקר:

"בבחינה של עלות מול תועלת באמצעות איזו חברה לפרסום חוצות, הפרסום הוא האפקטיבי ביותר?" . באמת. פלא שרק 64% מהנשאלים לא ידעו לענות….
"מבין החנויות והרשתות הבאות המתמחות במערכות קולנע ביתי, מהו לדעתך המקום הטוב ביותר והמקצועי ביותר לרכישת מערכת קולנוע ביתית?" מתוך העובדה ש73% לא ידעו לענות על זה, יש לי תחושה שרק לכרבע מהאוכלוסיה יש מערכת קולנוע ביתית, וזו המסקנה הכי חזקה שאפשר לגזור מהסקר.
אחוז לא יודעים דומה נרשם כשהציבור נדרש להשוות בין רשתות ארציות לתיווך נדל"ן. ברור.

אבל לא רק בסקרים עסקינן. כך למשל, התחקירנים החרוצים עשו בדיקה וחיפשו מהי הרשת הכדאית ביותר לטיפול להסרת שיער בלייזר לנשים (רגליים, מפשעות ובית שחי). הזוכה היא פרופורציה (4800 ש"ח), אחריה 3 חברות שמבקשות כ-5500 ש"ח ולבסוף רונית רפאל עם 18,600 ש"ח! לא הצלחתי למצוא הסברים באתר של הרשת, אבל מאוד מאוד חשוד ש-4 רשתות מבקשות רק שליש ממה שרונית רפאל מבקשת. מאוד חשוד.
שלא לדבר על השוואות שנעשות בין ספקיות אינטרנט, כשבאותיות קטנות מצויין שבאחדות מהחברות יש צורך בהתחייבות לשנה לפחות. אם כך הדבר, מה הבסיס להשוואה? איך המחיר שנלקח כמייצג אכן מייצג את המחיר של הרשת, אם התנאים הם לא אותם תנאים? אני בטוח שאם מתחייבים ל100 שנים, אפשר לקבל אינטרנט במחיר הרבה יותר נמוך…

השעה כבר מאוחרת וקצרה היריעה מלהכיל, ועל כן נסיים בתהייה. האם זה הגון, תמים ונקי כפיים לפרסם בתוך הגיליון המתיימר להיות אובייקטיבי את כל אותן חברות שזכו בו, תוך שהן מתהדרות בעובדה שהן זכו בו? מה היה קורה לו החברות הללו לא היו מוציאות כספים על פרסום במבחן של המדינה, האם גם אז התוצאות היו דומות?

ונשמרתם לנפשותיכם.

[רלוונטי מתמיד לקראת תקופת הבחירות והצפת הנתונים והסקרים שצפויה להגיע איתה]

"סקר TGI: עלייה בקריאת העיתונים – מעריב זינק ב7.2%" זעקה אליי הכותרת בעמוד השמיני של "עסקים" היום. בכותרת המשנה מצוטט איתן כסיף, מנכ"ל החברה שערכה את הסקר, כמי שאומר שהגידול בקריאת העיתונים חריג ביחס לעולם. מתחת לכותרת המשנה מפרטת חני יודל (גירסא מקוונת לא נאמנה למקור ניתן למצוא כאן) את תוצאות הסקר ובסופו שני גרפים מעניינים- האחד שיעור ההאזנה לרדיו בשנה החולפת, והשני לפניכם:

כותרת הגרף (צולם באיכות רעה ללא סורק…): "שיעור הגידול בחשיפה לעיתונים היומיים במחצית השנייה של 2010"

על פניו, המצב נראה מצויין עבור מעריב. הם עלו ב7.2%, ואילו ידיעות אחרות עומד על 0%, כל כך קטן שאפילו אין מקום למילה אחרונות בתרשים. נפלא! רפרוף מהיר במאמר הצית אצלי נורה אדומה. אני לא נוהג לשים לב לדברים כאלו יותר מדי, מאחר ובסופו של דבר המאמר מאוד ארוך וטרחני ומצטט הרבה מאוד אחוזים ומעט מאוד תובנות, אבל קריאה מדוקדקת בעיון מראה עד כמה הנתון שמוצג לפניכם מעוות. צאו איתי חברים, למסע קסום בממלכת המספרים!

שיטוט מהיר בפסקאות הפתיחה של המאמר מגלות את הנתונים אודות אחוזי החשיפה בשתי מחציות השנה 2010 (החציון הראשון בסוגריים):

ישראל היום 37.4% (35.2%)
ידיעות אחרונות 34.9% (34.9%)
מעריב 13.4% (12.5%)
ישראל פוסט 9.4% (7.9%)
הארץ 6.8% (6.4%)

גם אני כמוכם לא ממש בטוח מה אומרים האחוזים הללו, והאם הם מתוך האוכלוסיה כולה, האוכלוסיה היהודית, אוכלוסיית קוראי העיתונים או איזה מדגם אחר, אבל ניחא. אני סומך על TGI שעשו סקר כהלכתו. מהתוצאות רואים שהעיתון המוביל הוא ישראל היום, אחריו ידיעות אחרונות ומעריב רק סוגר את השלישיה הראשונה עם שליש מכמות הקוראים של שני העיתונים האחרים. לא תוצאה מעודדת במיוחד עבור חני יודל, הלא כן? אז בואו נראה אם אפשר לשפר אותה…

במקום להביט באחוזים עצמם, נבדוק מה השינוי בהם על ידי כך שנפחית פשוט את שיעור החשיפה בתחילת השנה משיעור החשיפה בסופה:
ישראל היום +2.2%
ישראל פוסט +1.5%
מעריב +0.9%
הארץ +0.4%
ידיעות אחרונות 0%

טוב, לא שיפרנו הרבה. אמנם הצלחנו להעיף את ידיעות אחרונות, היריב הנצחי, מהצמרת, אבל לשם השתחל ישראל פוסט… לא, אסור שמעריב יוותר שלישי, ועל כן במקום לבדוק את הנגזרת, נבדוק את הנגזרת היחסית! הא! נבדוק מה השינוי ביחס למצב ההתחלתי (כלומר את הגידול באחוזים ביחס לאחוז הקוראים בחציון הראשון). הרי התוצאות (האחוז הכפול הוא בכוונה, להדגיש שמדובר על אחוזים מתוך אחוזים):
ישראל פוסט 18.99%%
מעריב 7.2%%
ישראל היום 6.25%%
הארץ 6.25%%
ידיעות אחרונות 0%%

שיפור שוב! מעריב עקפה גם את ישראל היום (הגידול בתפוצת מעריב קטן יותר מהגידול של ישראל היום, אבל באופן יחסי למצב הנתון הגידול של ישראל היום קטן יותר. למה הדבר דומה? לכך שאדם שדולר מצוי בידיו התעשר ב-100% אם הרוויח דולר ואילו מיליונר שקיבל דולר נוסף התעשר רק ב-0.0001%… רחמיי), אבל ישראל פוסט צץ לפתע פתאום ועקף את כולם. פה אני התעייפתי וכנראה שגם חני יודל, ופשוט החליטה להשמיט אותו מהגרף אותו היא פירסמה. למי אכפת מהמקום הראשון, אם אפשר להשמיט אותו ולהפוך את השני לראשון?

נסכם. היה לפנינו מקרה עצוב של דמגוגיה מספרית. חני יודל לוקחת נתונים שלא ממש מחמיאים למעריב, ואחרי קצת שיפוצים וקצת קיצוצים מציגה אותם לראווה. בנתונים המקוריים מעריב הוא העיתון השלישי במדינה במרחק ניכר מצמד המובילים. הוא הרבה יותר קרוב להארץ ולפוסט מאשר לישראל היום ולידיעות. גם השינוי השנתי שעבר עליו לא מרשים במיוחד. בין המחצית הראשונה לשניה של 2010, נוספו פי 2 קוראים לישראל פוסט מאשר למעריב ופי 3 לישראל היום מאשר למעריב. הפער בינו לבין ישראל היום רק גדל, ובינו לבין ישראל פוסט הצטמצם (מהכיוון הלא מחמיא עבור מעריב). הרבה תעוזה וחוצפה בשילוב עם התעמלות מספרית מרהיבה הופכת את הנתונים על פיהם ומציגה את מעריב כראשונה, כוכב עולה בתחום העיתונאות.

[פורסם לראשונה בבלוג הישן ב-19.01.2011, וזכה לתפוצה רחבה בזכות "לאטמה" ואתר האיגוד הישראלי לסטטיסטיקה]