החברים במכון דוידסון עושים לרוב עבודה מצויינת בכתיבה מדעית פופולרית והנגשת רעיונות מדעיים לציבור הרחב (למשל, דרך דף הפייסבוק). לרוב, כי היום משהו התקלקל והכתבה הבאה יצאה תחת ידיהם והופיעה ב-ynet. הכתבה עוסקת במשחק הפשוט "זוג או פרט" ומנסה להסביר שהמשחק לא הוגן וכי הסיכויים של "זוג" לנצח הם במעט יותר גבוהים (13/25 לעומת 12/25). הואיל ויש לי כמה דקות פנויות והטעויות בכתבה באמת מפריעות לי, הריהו לפניכם – פוסט התיקונים.

הכתבה נפתחת בהסבר קצר על המשחק ועל האם זה "פרד" או "פרט" ומיד אחרי זה מגיעה השגיאה הראשונה בחישוב ההסתברויות. הכתב סופר נכונה שכאשר כל אחד מהשחקנים מציג אצבע עד 5 אצבעות ולכן יש בסה"כ 25 תוצאות אפשריות במשחק (1-1, 1-2, 2-1 וכו' עד 5-5) מתוכן 13 זוגיות ורק 12 אי-זוגיות, אבל המסקנה המתבקשת היא לא שהסיכוי לתוצאה זוגית יותר גדולה מתוצאה אי זוגית. מדובר על כשל בהבנת מושג ההסתברות. העובדה שיש 13 תוצאות זוגיות ו-12 תוצאות אי זוגיות לא אומר שהסיכוי לתוצאה זוגית הוא 13/25. שיקול כזה עובד רק בבעיות בהן הסיכוי לכל תוצאה הוא שווה (מצב הנקרא "מרחב מדגם סימטרי") כמו בקוביה (6 תוצאות עם אותו הסיכוי) או הטלת מטבע (שתי תוצאות עם אותו סיכוי) אבל לא כל מרחב מדגם הוא סימטרי. הסיכוי שירד מחר גשם הוא לא 50% (או שכן או שלא) והסיכוי שנבחרת ישראל תסיים במקום הראשון במוקדמות המונדיאל הבא הוא לא 1/6 (כי יש 6 מקומות אפשריים). אותו הדבר במשחק "זוג או פרט". התוצאה שמציגים בכתבה נכונה רק אם כל אחד מהשחקנים בוחר באקראי כמה אצבעות להציג, ולכל מספר של אצבעות יש סיכוי של 1/5.

שתי פסקאות אחרי כן, הכתב מוכיח שהוא כן מבין את הנקודה האחרונה, כשהוא מסביר שהסכומים האפשריים במשחק אינם שווי הסתברות. אכן, הסיכוי לקבל 10 (אם כן אחד בוחר מספר באקראי) הוא 1/25 בעוד שהסיכוי לקבל 9 גבוה פי 2 (כי יש שתי אפשרויות לקבל 9: 5+4 או 4+5). לכן לחשוב על כל התוצאות האפשריות (2 עד 10) ולהגיד שהן תוצאות שוות הסתברות היא אמירה לא נכונה למרות שהיא גם מובילה למסקנה של"זוג" יש יתרון על "פרט".

כל חישובי ההסתברות הללו, נכונים ככל שיהיו, סוטים מהנקודה המרכזית שחסרה בניתוח. מדובר על משחק ולכן שחקנים רציונליים יחפשו אסטרטגיה במשחק. כשם ששחקנים אינם בוחרים מהלכים באקראי במשחק השחמט, כך אין סיבה שיבחרו באקראי אצבעות במשחק "זוג או פרט". נניח למשל ש"זוג" קרא את הכתבה בויינט והחליט לפעול לפי האסטרטגיה המומלצת שם, כלומר להציג כל מספר של אצבעות באותו סיכוי. האם "פרט" יכול להגן על עצמו? בוודאי. ראשית כל, הוא יכול לבחור להציג אצבע אחת בסיכוי של חצי ו-2 אצבעות בסיכוי של חצי. במקרה כזה, הסיכוי שלו לנצח אם הוא הראה אצבע אחת (מה שקורה בסיכוי חצי) הוא 2/5 ואם הוא הראה שתי אצבעות (שוב, בסיכוי חצי) הוא 3/5 ובסה"כ הסיכוי שלו לנצח יהיה מכפלת ההסתברויות, כלומר חצי. לפיכך, "פרט" יכול להבטיח שינצח בערך בחצי מהמשחקים אם הוא בוחר באקראי "זוג" או "פרט" ובהתאם לכך בוחר כמה אצבעות יציג ולא אם הוא בוחר באקראי את מספר האצבעות שיציג. באופן דומה, "זוג" יכול לנקוט באסטרטגיה דומה והמשחק יהפוך להוגן – הסיכוי של כל אחד לנצח הוא בדיוק חצי.

למעשה, "זוג" חייב לנקוט באסטרטגיה דומה אחרת הוא יפסיד. אם משום מה "זוג" מתעקש לנקוט באסטרטגיה של ויינט ולהציג כל מספר אצבעות באותו סיכוי, הרי שהוא יציג מספר אי זוגי ב-3/5 מהמקרים ולכן "פרט" יכול פשוט להציג מספר זוגי תמיד ולנצח ב-3/5 מהמקרים. לאור זאת, גם "זוג" חייב לשחק אסטרטגיה שמציגה זוג ופרט בסיכויים שווים אחרת "פרט" יוכל לנצל את האסטרטגיה השגויה של "זוג" לטובתו.

בסיכומו של עניין, "זוג או פרט", כמו הרבה משחקים אחרים, הוא משחק הוגן בהנחה שמשחקים נכון ואז לכל צד יש סיכוי של חצי לנצח. יתרה מכך, מספיק שאחד הצדדים ישחק נכון ויבחר זוג ופרט בהסתברות שווה כדי לוודא שהמשחק יהיה הוגן וכל צד ינצח בהסתברות חצי. הבעיה היחידה יכולה להתעורר במשחק היא אם משחקים לא נכון או מנסים להתחכם ("הוא עשה 2 אז עכשיו הוא בטח לא יעשה 2 ולכן אני אעשה 2….").

נהפוך את המשחק למעניין ונניח שהמנצח משלם למפסיד שקל. במקרה כזה המשחק הופך למשחק סכום-אפס, שכן סך כל הרווחים של השחקנים הוא 0 (כל מה שאחד מרוויח, השני בדיוק מפסיד). פון-ניומן, מאבות תורת המשחקים, הוכיח בשנות ה-40 שלמשחקי סכום-אפס עם שני שחקנים יש ערך, כלומר יש לכל צד אסטרטגיה אופטימלית ויש ערך בודד המתאר כמה, בממוצע, שחקן 2 ישלם (או ירוויח, שקול לתשלום שלילי) בכל תור. ב"זוג או פרט" השחקן הראשון ירוויח 1 בחצי מהמשחקים, יפסיד 1 בחצי מהמשחקים ולכן בממוצע ירוויח 0, כלומר הערך של המשחק הוא 0.

מבחינה תאורטית, אם כך, המשחק "זוג או פרט" הוא די משעמם כי האסטרטגיות האופטימליות ידועות, הערך ידוע ואין כל כך מה לחדש. דווקא מבחינה פרקטית המשחק עשוי לעניין שכן לא סביר שאנשים באמת משחקים "1 בהסתברות חצי ו-2 בהסתברות חצי" כמו שצריך. מחקרים מראים שקשה מאוד לאנשים להגריל מספרים בצורה אקראית והחשיבה האנושית היא מובנית ומבוססת על סדרות: "שיחקתי עכשיו פעמיים 1, אבל אני אמור לשחק חצי חצי ולכן בתור הבא אשחק 2 כדי שזה יהיה בערך חצי-חצי" (בניגוד לאמירה הנכונה: "שיחקתי עכשיו פעמיים 1, עכשיו אני אשחק או 1 או 2 באופן אקראי לחלוטין"). כתבה על מחקר כזה, המתאר מה אנשים משחקים בפועל ואיך אפשר לנצל את זה כדי לנצח ולהשתלט על העולם, הייתי שמח לקרוא.

בשנים האחרונות נדמה שהשמאל הולך ונעלם מהמפה הפוליטית. הימין יציב וחזק בשלטון, העמדות השמאלניות נתפסות כ"סהרוריות", הטוקבקים מרושעים ובאופן כללי, נראה שהחיים לא משהו למי שעדיין מגדיר את עצמו שמאלני או חס ושלום – מצביע מרצ. כתבתי על ההידרדרות במעמד השמאל כבר בעבר וכמו אז גם הפוסט הקרוב הוא פרי (בוסרי) ששייך לקורס אחר שאני לומד בתואר בדמוקרטיה. האם הכל אבוד לתומכי השמאל ואנחנו בדרך לחמישים שנות שלטון ימין? מסופקני ותודה לימין שמחזיר את השמאל לחיים.

אחד המודלים הבסיסיים שמסביר איך אנשים מצביעים הוא המודל של דאונס (Downs 1957) שמתאר מודל מרחבי של הצבעה הדומה מאוד למודל הכלכלי שפיתח הוטלינג (Hotelling) אי שם ב-1929. הוטלינג דן במצב היפוטי בו ברחוב ארוך מאוד שני בעלי גלידריה מעוניינים לפתוח, ובכן, גלידריה. בהנחה שהגלידה היא זהה בשני בתי העסק והמחיר הוא אותו מחיר, השיקול היחיד של כל צרכן הוא המרחק לבית העסק – עדיף ללכת לגלידה הקרובה מאשר לרחוקה יותר (אם כי מבחינה קלורית, אולי דווקא להפך). כך או אחרת, יעדיפו הגלידריות לפתוח את העסק בדיוק במרכז הרחוב. במקרה כזה המרחק אל שתי הגלידריות הוא זהה, לצרכנים אין העדפה ובקירוב טוב מחצית מהלקוחות יגיעו לכל בית עסק. כל סטייה תיענש בחומרה. נניח כעת כי אחת מהגלידריות היא אכן באמצע הרחוב ואילו הגלידריה השניה לא רחוקה ממנה, אבל ממוקמת 10 בתים מימינה. במקרה כזה, כל התושבים הגרים משמאל לגלידריה הראשונה יגיעו אליה וגם כל אלו שנמצאים מימינה וקרובים יותר אליה מאשר אל הגלידריה הימנית. במצב כזה נתח השוק של הגלידריה שבאמצע הרחוב יהיה 50%+חמישה בתים ואילו נתח השוק של הגלידריה שמימין יהיה 50% פחות חמישה בתים. הסטייה מנקודת המרכז גרמה להפסד של חמישה בתים מלאים בלקוחות עם הרבה כסף ותאבה לגלידה.

באופן דומה מתנהגים גם מצביעים ומפלגות. אם ניתן לכמת את הדעות הפוליטיות של המצביעים והמפלגות, כל מצביע ייטה להצביע למפלגה הקרובה ביותר אליו מבחינה מספרית. מצביע עם דעה פוליטית 5.5 יעדיף להצביע למפלגה שהדעה שלה היא 6 ולא 4 כי 6 קרוב יותר אליו. לכן כאשר עומדות לבחירה שתי מפלגות הן מנסות לנוע כמה שיותר לכיוון המרכז. ממילא כל השמאלנים יצביעו למפלגה הקצת יותר שמאלנית והימנים למפלגה הקצת יותר ימנית ולכן הקרב האמיתי הוא על המצביעים במרכז שעוד יכולים לשנות את דעתם וקרובים במידה דומה לשתי המפלגות.

בפועל, כמובן, המצב מורכב יותר. לא באמת ניתן לכמת את הדעה הפוליטית למספר אחד אלא יש לשכן את הדעה הפוליטית במרחב עשיר יותר עם צירים רבים יותר (לדוגמא – שלום, כלכלה, דת, חברה, זכויות להט"ב וכו' וכו') וגם לשקלל את יחס ההעדפות של המצביעים בהתאם לחשיבות של כל ציר בעיניהם. הטכניקה נשמעת מסובכת אבל קונספטואלית אין הבדל בין המודל החד מימדי של הוטלינג למודל עשיר יותר שאולי מתאר את המציאות בצורה טובה יותר וממילא בישראל הדיכוטומיה היא יחסית ברורה.

המצב מתחיל להסתבכך כאשר מוסיפים למשוואה עוד כמה גלידריות. נניח שלרחוב מגיע יזם נוסף ומעוניין לפתוח עוד גלידריה. אם גם הוא ילך למרכז הרחוב, שלושת הגלידריות יתחלקו באופן שווה בלקוחות וכל אחד יקבל שליש מהם. אבל היזם שם לב שאם יסטה בניין אחד ימינה ממרכז הרחוב, הוא יהיה קרוב יותר ל-50% מהלקוחות ולכן יוכל בכך להגדיל את נתח השוק שלו ל-50% ולתת לשתי הגלידריות להתחרות על ה50% הנותרים. אלא שגם הם לא פריירים וברגע שהיזם יפתח את העסק שלו, כל אחד מבעלי העסק הקיימים גם ירצה לעבור מיקום ומה שנראה יהיה מצב דינמי אינסופי. לא משנה היכן נמצאים שני העסקים האחרים, לשלישי תמיד יהיה מקום בו הוא יכול לשפר את מצבו והם אף פעם לא יגיעו לשכירות ארוכת טווח…

מצב זה קורה לנגד עינינו במערכת הפוליטית כיום. ההיחלשות של השמאל בשנים האחרונות הובילה להיווצרות מפלגות מרכז חזקות יותר ובמקביל לתנועה שמאלה של מפלגת הליכוד, שמנסה לקרוץ גם לקהל ממורכז יותר (והוא בתורו נע שמאלה ונוגס בקהל השמאלני יותר). אלא שהתנועה ימינה הותירה את אגף ימין חשוף ובתגובה החלו לצוץ ארגוני ימין קיצוניים ומפלגות ימין קיצוני. אמנם ארגונים אלו מצויים בשוליים, אבל המרחק הגדול מהליכוד איפשר להם להשיג מספיק תמיכה מהצד הימני קיצוני של הקשת הפוליטית בכדי לוודא שהיווצרותם תהיה רווחית. בתגובה, הליכוד נדרש להיימין כדי לא לאבד את בסיס כוחו בימין (ע"ע חוטובלי, פייגלין, מירי רגב וכו') ויצר מרחב מחודש לשמאל לצמוח. כל התהליך הזה התפרש על פני כמה שנים אבל כבר עכשיו נראים ניצנים ראשונים שלו, כשהגידול בתמיכה בשמאל כמעט והביא להחלפת השלטון בבחירות האחרונות.

עדיין לא משוכנעים? ריכזתי למענכם את התשובות לשאלה "כיצד אתה מגדיר את עצמך" בסקרים של המכון הישראלי לדמוקרטיה בשנים 2012-2015 (לפני זה סקלת התשובות הייתה אחרת). האפשרויות הן ימין, ימין מתון, מרכז, שמאל מתון ושמאל. לצד ריכוז התשובות סכמתי גם את כלל אלו שמגדירים עצמם כימין (מתון או "רגיל") ושמאל (מתון או "רגיל"). בסה"כ, שיעור האנשים שמגדירים את עצמם כשמאל נמצאת במגמת עליה בעוד ששיעור האנשים שמגדירים את עצמם כימין בירידה (אם כי אבסולוטית הימנים עדיין רבים יותר ממחנה השמאל והמרכז גם יחד).

אני צופה שהמגמה הזו תימשך וככל שהבנצי גופשטיינים וה"צל"ים למיניהם יתחזקו, כך גם הליכוד יימשך יותר ימינה והשמאל (או המרכז) יוכלו לעוט על השלל. אם אכן זה יקרה, כדאי שהממשלה החדשה תזכור למי צריך לשלוח את הפרחים והתודות. האם זה אכן יקרה? לעתיד פתרונים.

אחד מסוגי המשחקים הנפוצים ביותר בתורת המשחקים הם משחקי סכום-אפס. משחקים אלו מיוחדים בכך שסכום הרווחים של שני השחקנים הוא אפס. כל מה ששחקן אחד מרוויח השחקנית השניה מפסידה ולהפך, כל מה ששחקנית מרוויחה בא על חשבון השחקן.

דוגמא לכך הוא משחק הילדים הידוע "זוג או פרט". במשחק זה אחד השחקנים בוחר להיות "זוג" (כלומר, הוא בונה על תוצאה זוגית) והשחקן השני הופך ל"פרט" (ומקווה לתוצאה אי-זוגית). לאחר מכן כל אחד מהשחקנים בוחר מספר אצבעות והם חושפים את אצבעותיהם בו-זמנית. המנצח נקבע בהתאם לסך האצבעות שנחשפו. אם שני השחקנים ביחד הראו מספר זוגי של אצבעות, המנצח יהיה שחקן ה"זוג". אחרת, המנצח הוא שחקן ה"פרט". אם נעניק נקודה למנצח ונגרע נקודה ממאזנו של המפסיד נקבל משחק סכום-אפס. בכל שלב, שחקן אחד ירוויח נקודה ושחקן אחד יפסיד נקודה.

המייחד משחקי סכום-אפס ביחס למשחקים אחרים הוא העובדה שאין במשחקי סכום-אפס הזדמנויות לשיתוף פעולה. אין אף דרך בה השחקנים יכולים לשתף פעולה במשחק ולהרוויח יותר מאשר היו מרוויחים אם לא היו משתפים פעולה. דוגמא נוספת היא גמר גביע העולם בכדורגל. שתי הקבוצות המשחקות בו מעוניינות לנצח ולזכות בגביע. אין להן שום תמריץ לשתף פעולה. לעומת זאת, משחקי שלב הבתים באליפות גביע העולם אינם משחקי סכום-אפס. שם בהחלט ייתכן מצב שתוצאת תיקו יכולה להיטיב עם שתי הקבוצות ולכן הן לא יתאמצו יתר על המידה לנצח אלא יסכימו (בשתיקה) לבזבז את הזמן ולשחק על תיקו (תופעה מגונה בעולם הספורט, אך לא בכך עסקינן).

משא ומתן על שחרור מחבלים נתפס לעיתים רבות כמשחק סכום-אפס. ישראל אינה מעוניינת לשחרר מחבלים וכל מחבל שמשוחרר מהווה הפסד קטן לישראל. לעומת זאת, החמאס מעוניין לשחרר כמה שיותר מחבלים וכל אחד שלא משוחרר מהווה הפסד של החמאס. במקרה כזה, קל מאוד להתבצר בעמדות הראשוניות וקשה מאוד לרדת מהעץ ולוותר לצד השני. כל ויתור משמעותו הפסד לנו ורווח להם ולכן אין מקום לויתורים או פשרות.

בכדי לאפשר למשא ומתן להתקיים בכל זאת, יש להפוך אותו למשחק שאינו סכום-אפס. דרך אחת היא על ידי הוספת תמריץ חיצוני. למשל, בונוס כספי לשני הצדדים מגוף זר אחר (נניח, האמריקאים) תמורת סגירת העסקה. במקרה כזה, כדאי לצדדים לשתף פעולה ולהתגמש בכדי לסגור את העסקה ולקבל את הבונוס.

ברשומה זו אני מציע שיטה אחרת לשחרור מחבלים, שהופכת את המו"מ על שחרורם למשחק שאינו סכום-אפס. במקום לסגור על כמות המחבלים ואז להתווכח על זהותם, תהליך ארוך ומייגע ללא ספק, אני מציע שהמו"מ יהיה על שנות מאסר שיקוצצו. למשל, נחליט שמסכימים לוותר על 10,000 שנות מאסר. עכשיו הצד השני, החמאס, נדרש לבחור את האסירים אותם הוא רוצה לשחרר ובתנאי שסך זמן המאסר הנותר להם קטן מ-10,000 שנים. כך, למשל, החמאס יכול להחליט שהוא משחרר 2000 דגי רקק ואסירים "קלים" שלכל אחד נותרו רק 5 שנים להישאר בכלא או לחילופין למלא את הרשימה ברוצחים כבדים האסורים לתקופות ממושכות (כאשר מאסרי עולם, למשל, שקולים ל-50 שנים).

במצב כזה, לשני הצדדים יהיה בסופו של דבר הישג להתהדר בו. אם החמאס יבחר באפשרות הראשונה, ישראל תוכל להתגאות ששחררה רק פושעים קלים והחמאס יוכל להתגאות בכמויות. אם יבחר החמאס באפשרות השניה, ישראל תוכל להתגאות ששחררה רק מספר מועט של מחבלים והחמאס יתגאה באיכותם. באופן זה, שני הצדדים יוכלו להגיע להסכמה בקלות רבה יותר ועסקאות עתידיות יתממשו מהר יותר (מבלי להיכנס לדיון, האם בכלל יש לשחרר מחבלים או לשאת ולתת עם החמאס).

[פורסם לראשונה בבלוג הישן, ב-27.10.2011 כחלק מעיסקת שליט]